Aritmética: Números Racionales
Números Racionales
Una guía paso a paso con ejemplos, ejercicios y examen para fortalecer tus fundamentos matemáticos.
¿Qué son los números racionales?
El punto de partida: entender cómo una parte puede expresar una cantidad completa.
Definición de racional
Un número racional es todo número que puede escribirse como el cociente de dos enteros a y b, donde b no es cero. Incluye enteros, fracciones, decimales exactos y decimales periódicos.
Fracción común
Una fracción común representa partes iguales de un todo. En 3/4, el 3 es el numerador y el 4 es el denominador.
Clasificación de fracciones
Identificar el tipo de fracción facilita su lectura, comparación y conversión.
3/5
El numerador es menor que el denominador. Su valor es menor que 1.
7/4
El numerador es mayor que el denominador. Su valor es mayor que 1.
12/3 = 4
El numerador es múltiplo del denominador y representa un entero.
Fracción mixta: combina un entero y una fracción propia: 2 13. Significa “dos enteros y un tercio más”.
Conversiones paso a paso
Transforma la representación de un racional sin cambiar su valor.
Impropia a mixta
- Divide 11 entre 4.
- Obtén cociente 2 y residuo 3.
- Escribe: 11/4 = 2 34.
Mixta a impropia
- Multiplica 3 × 5 = 15.
- Suma el numerador: 15 + 2 = 17.
- Conserva el denominador: 3 2/5 = 17/5.
Fracción a decimal
- Divide numerador entre denominador.
- 3 ÷ 4 = 0.75.
- Entonces 3/4 = 0.75.
Fracciones equivalentes y simplificación
Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad. Se obtienen multiplicando o dividiendo numerador y denominador por el mismo número distinto de cero.
Simplificar 18/24
- Busca un divisor común: 6.
- 18 ÷ 6 = 3 y 24 ÷ 6 = 4.
- Resultado: 18/24 = 3/4.
Esquema visual
Una barra dividida en 2 partes con 1 coloreada tiene la misma porción que una barra dividida en 4 partes con 2 coloreadas.
Propiedades de los números racionales
Las propiedades permiten operar con seguridad y organizar cálculos más complejos.
Clausura
Al sumar, restar, multiplicar o dividir (sin dividir entre 0) racionales, el resultado es racional.
Conmutativa
En suma y multiplicación, cambiar el orden no cambia el resultado.
Asociativa
En suma y multiplicación se puede reagrupar.
Distributiva
La multiplicación se distribuye sobre una suma.
Elemento neutro
0 no cambia una suma; 1 no cambia una multiplicación.
Inversos
El aditivo de 3/5 es −3/5; el multiplicativo es 5/3.
Ubicación en la recta numérica
Cada racional ocupa una posición exacta. Las fracciones impropias se ubican después de 1 cuando su valor es mayor.
En la recta numérica, el número ubicado más a la derecha es mayor. Por ello, 1/2 < 3/2 < 5/2.
Suma y resta con igual denominador
Cuando los denominadores coinciden, conserva el denominador y opera únicamente los numeradores.
Suma
- Conserva el denominador: 7.
- Suma numeradores: 2 + 3 = 5.
- Resultado: 2/7 + 3/7 = 5/7.
Resta
- Conserva el denominador: 9.
- Resta numeradores: 7 − 4 = 3.
- Resultado: 7/9 − 4/9 = 3/9 = 1/3.
Suma y resta con diferente denominador
Busca el mínimo común múltiplo (m.c.m.) para expresar las fracciones con un mismo denominador.
Ejemplo: 1/3 + 1/4
- m.c.m. de 3 y 4 = 12.
- Convierte: 1/3 = 4/12 y 1/4 = 3/12.
- Suma: 4/12 + 3/12 = 7/12.
Ejemplo: 5/6 − 1/4
- m.c.m. de 6 y 4 = 12.
- Convierte: 5/6 = 10/12 y 1/4 = 3/12.
- Resta: 10/12 − 3/12 = 7/12.
Multiplicación de fracciones
La multiplicación de racionales es directa: multiplica numeradores entre sí y denominadores entre sí.
Multiplica numerador por numerador y denominador por denominador. Puedes simplificar antes de multiplicar si detectas factores comunes.
División de fracciones
Para dividir, multiplica la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda.
Regla del recíproco
Dividir entre una fracción equivale a multiplicar por su inversa.
Ejemplo
- 2/3 ÷ 4/5.
- Invierte la segunda fracción: 5/4.
- 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6.
Operaciones con signos de agrupación
Respetar el orden de resolución evita errores en expresiones combinadas.
Ejemplo: { [ 1/2 + 1/4 ] × 2/3 } − 1/6
- Resuelve paréntesis/corchetes: 1/2 + 1/4 = 3/4.
- Multiplica: 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2.
- Resta: 1/2 − 1/6 = 3/6 − 1/6 = 2/6 = 1/3.
Orden: signos de agrupación → potencias si existieran → multiplicación/división → suma/resta, siempre de izquierda a derecha.
¿Por qué importan los racionales?
Comprender racionales permite modelar situaciones reales y resolver problemas técnicos con precisión.
Vida diaria
Medidas de recetas, descuentos, tiempo, combustible y repartos usan racionales constantemente.
Computación
Escalas, promedios, porcentajes, proporciones de memoria y tasas de transferencia se expresan con racionales.
Ingeniería
Las fracciones ayudan a modelar precisión, dimensiones, probabilidad y algoritmos numéricos.
Práctica guiada
Resuelve los ejercicios y abre cada tarjeta solo cuando quieras comprobar tu procedimiento.
1. Clasifica 4/9.
Respuesta: Fracción propia, porque 4 es menor que 9.
2. Convierte 13/5 a mixta.
Respuesta: 2 3/5.
3. Convierte 4 2/7 a impropia.
Respuesta: (4×7+2)/7 = 30/7.
4. Simplifica 21/28.
Respuesta: Divide entre 7: 3/4.
5. Escribe una equivalente a 3/5.
Respuesta: 6/10, multiplicando ambos términos por 2.
6. Compara 5/8 y 3/4.
Respuesta: 5/8 = 10/16 y 3/4 = 12/16; entonces 5/8 < 3/4.
7. Resuelve 3/11 + 5/11.
Respuesta: 8/11.
8. Resuelve 9/10 − 3/10.
Respuesta: 6/10 = 3/5.
9. Resuelve 2/3 + 1/6.
Respuesta: 4/6 + 1/6 = 5/6.
10. Resuelve 7/8 − 1/3.
Respuesta: 21/24 − 8/24 = 13/24.
11. Multiplica 3/7 × 14/15.
Respuesta: 42/105 = 2/5.
12. Divide 5/6 ÷ 10/9.
Respuesta: 5/6 × 9/10 = 45/60 = 3/4.
Examen final de conocimientos
Selecciona una respuesta por reactivo y evalúa tu avance al terminar.
Ver clave de respuestas
Clave: 1-B, 2-A, 3-C, 4-B, 5-A, 6-C, 7-B, 8-A, 9-C, 10-B.
