4. Derivadas
Instituto Tecnológico de Tehuacán
Ingeniería Civil | Cálculo Diferencial — Unidad 4: La Derivada
La derivada es la herramienta fundamental para analizar tasas instantáneas de cambio y optimizar estructuras en Ingeniería Civil:
- Análisis del Fuerza Cortante y Momento Flector: El esfuerzo cortante en una viga estructural es exactamente la primera derivada del momento flector respecto a la posición longitudinal ($V(x) = \frac{dM(x)}{dx}$).
- Diseño Geométrico de Carreteras: Determinación de pendientes continuas, peraltes mínimos y curvatura instantánea de vías terrestres.
- Mecánica de Suelos y Taludes: Análisis de velocidad de asentamiento por consolidación en estratos arcillosos.
Geométricamente, la derivada de una función $f(x)$ en el punto $x = a$ representa la **pendiente de la recta tangente** a la curva $y = f(x)$ en el punto $P(a, f(a))$. Conforme una recta secante reduce la distancia entre dos puntos ($\Delta x \to 0$), la secante converge a la recta tangente.
La pendiente $m$ de la recta tangente es la derivada $f'(a)$.
Sea $y = f(x)$ una función continua:
- Incremento de la variable independiente: $\Delta x = x_2 – x_1$
- Incremento de la variable dependiente: $\Delta y = f(x_1 + \Delta x) – f(x_1)$
- Razón de cambio promedio: Medida del cambio relativo en un intervalo $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_1 + \Delta x) – f(x_1)}{\Delta x}$
- Razón de cambio instantánea: Límite del incremento promedio cuando $\Delta x \to 0$.
La **derivada** de la función $f(x)$ respecto a $x$ se define mediante el siguiente límite fundamental (Regla de los cuatro pasos):
$$f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) – f(x)}{\Delta x}$$
Ejercicio 1: Derivada por Definición (Cuatro Pasos)
Hallar la derivada de $f(x) = 3x^2 + 2x$ aplicando la definición.
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Paso 1: Plantear $f(x + \Delta x)$:
$$f(x + \Delta x) = 3(x + \Delta x)^2 + 2(x + \Delta x) = 3(x^2 + 2x\Delta x + \Delta x^2) + 2x + 2\Delta x$$
Paso 2: Calcular el incremento $\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x)$:
$$\Delta y = (3x^2 + 6x\Delta x + 3\Delta x^2 + 2x + 2\Delta x) – (3x^2 + 2x) = 6x\Delta x + 3\Delta x^2 + 2\Delta x$$
Paso 3: Dividir entre $\Delta x$:
$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta x(6x + 3\Delta x + 2)}{\Delta x} = 6x + 3\Delta x + 2$$
Paso 4: Aplicar el límite cuando $\Delta x \to 0$:
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (6x + 3\Delta x + 2) = 6x + 2$$
El **diferencial** de la variable independiente es $dx = \Delta x$. El diferencial de la variable dependiente $dy$ representa la variación en la recta tangente y se define como:
$$dy = f'(x) \cdot dx$$
Aplicación en Civil: El diferencial permite estimar la propagación de errores en mediciones topográficas, áreas o volúmenes de concreto.
Ejercicio 2: Error Aproximado usando Diferenciales
El lado de una zapata cuadrada mide $x = 2.0$ m con un error de medición $dx = \pm 0.01$ m. Estimar el error en el cálculo del área ($A = x^2$).
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Paso 1: Obtener la derivada del área respecto a $x$:
$$\frac{dA}{dx} = 2x \implies dA = 2x \cdot dx$$
Paso 2: Sustituir los valores conocidos ($x = 2.0$, $dx = 0.01$):
$$dA = 2(2.0 \text{ m})(0.01 \text{ m}) = 0.04 \text{ m}^2$$
El error estimado en el área de la zapata es de $\pm 0.04 \text{ m}^2$.
| Regla / Función | Fórmula General |
|---|---|
| Constante | $\frac{d}{dx}[c] = 0$ |
| Potencia | $\frac{d}{dx}[x^n] = n x^{n-1}$ |
| Producto | $\frac{d}{dx}[u \cdot v] = u v’ + v u’$ |
| Cociente | $\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{v u’ – u v’}{v^2}$ |
| Exponencial / Logarítmica | $\frac{d}{dx}[e^u] = e^u \cdot u’ \quad \text{y} \quad \frac{d}{dx}[\ln(u)] = \frac{u’}{u}$ |
Permite calcular la derivada de una función compuesta $y = f(g(x))$. Si $u = g(x)$, entonces:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$
Ejercicio 3: Derivación por Regla de la Cadena
Calcular la derivada de $y = (4x^3 – 5x)^4$.
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Paso 1: Identificar $u = 4x^3 – 5x$, por lo que $y = u^4$.
Paso 2: Derivar $y$ respecto a $u$ y $u$ respecto a $x$:
$$\frac{dy}{du} = 4u^3, \quad \frac{du}{dx} = 12x^2 – 5$$
Paso 3: Multiplicar ambas derivadas:
$$\frac{dy}{dx} = 4(4x^3 – 5x)^3 \cdot (12x^2 – 5)$$
Cuando la variable $y$ no está despejada en la ecuación $F(x, y) = 0$, se derivan ambos miembros respecto a $x$, recordando aplicar la regla de la cadena multiplicando por $\frac{dy}{dx}$ siempre que se derive un término que contenga $y$. Posteriormente se despeja $\frac{dy}{dx}$.
Ejercicio 4: Derivación Implícita
Obtener $\frac{dy}{dx}$ a partir de $x^2 + y^2 = 25$.
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Paso 1: Derivar ambos lados respecto a $x$:
$$\frac{d}{dx}[x^2] + \frac{d}{dx}[y^2] = \frac{d}{dx}[25] \implies 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$
Paso 2: Despejar $\frac{dy}{dx}$:
$$2y \frac{dy}{dx} = -2x \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$$
Se obtienen al derivar sucesivamente la función obtenida en el paso previo:
- Segunda Derivada ($f»(x) = \frac{d^2 y}{dx^2}$): Representa la aceleración en física o la curvatura/concavidad de una deformación estructural.
- Tercera Derivada ($f»'(x) = \frac{d^3 y}{dx^3}$): Representa la sobreaceleración o «jerk» (tasa de cambio de la aceleración).
Ejercicio 5: Derivadas Sucesivas
Dada $f(x) = x^4 – 5x^3 + 2x$, hallar $f»(x)$ y $f»'(x)$.
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Primera Derivada: $f'(x) = 4x^3 – 15x^2 + 2$
Segunda Derivada: $f»(x) = 12x^2 – 30x$
Tercera Derivada: $f»'(x) = 24x – 30$
Resuelve los siguientes reactivos para evaluar tu nivel de dominio:
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Paso 1: Evaluar $y(2) = 2^2 – 3(2) + 1 = 4 – 6 + 1 = -1$. El punto es $P(2, -1)$.
Paso 2: Obtener la derivada para hallar la pendiente: $y’ = 2x – 3 \implies m = y'(2) = 2(2) – 3 = 1$.
Paso 3: Ecuación punto-pendiente: $y – (-1) = 1(x – 2) \implies y + 1 = x – 2 \implies y = x – 3$.
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Solución: Por regla de la cadena: $f'(x) = \cos(3x^2) \cdot \frac{d}{dx}[3x^2] = 6x \cos(3x^2)$.
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Paso 1: Derivar término a término: $3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 6\left(y + x \frac{dy}{dx}\right) = 6y + 6x \frac{dy}{dx}$.
Paso 2: Agrupar los términos con $\frac{dy}{dx}$:
$$3y^2 \frac{dy}{dx} – 6x \frac{dy}{dx} = 6y – 3x^2 \implies \frac{dy}{dx}(3y^2 – 6x) = 6y – 3x^2$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{6y – 3x^2}{3y^2 – 6x} = \frac{2y – x^2}{y^2 – 2x}$$
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Paso 1 (Derivada): $V(x) = \frac{dM}{dx} = 20 – 6.66x$.
Paso 2 (Cortante cero): $20 – 6.66x = 0 \implies x = \frac{20}{6.66} \approx 3.0 \text{ m}$.
El cortante nulo se presenta exactamente a la mitad de la luz de la viga ($x = 3.0$ m), punto donde el momento flector alcanza su valor máximo.
