El concepto de límite y continuidad constituye la herramienta matemática fundamental para comprender cómo se comportan las estructuras y fluidos en estados críticos o al aproximarse a valores límite:

• Cargas límite y falla estructural: Analizar la deformación instantánea de una viga conforme una carga puntual se aproxima a su capacidad crítica.
• Mecánica de fluidos e Hidráulica: Determinación de velocidades límite de escurrimiento en tuberías y canales abiertos.
• Modelación Sísmica: Evaluar respuestas estructurales continuas ante vibraciones bruscas o discontinuidades en la rigidez de un edificación.

Intuitivamente, el límite de una función $f(x)$ cuando $x$ se aproxima a un valor $a$ es el valor $L$ al que se acercan las imágenes $f(x)$. Lo verdaderamente crucial es observar la tendencia de la función en las cercanías de $a$, sin importar necesariamente lo que ocurre exactamente en el punto $x = a$.

Sea $f$ una función definida en un intervalo abierto que contiene a $a$ (excepto posiblemente en $a$). Se dice que el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ es $L$, escrito como:

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

si para todo $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que:

$$\text{si } 0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \epsilon$$

Si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ y $\lim_{x \to a} g(x) = M$, se cumplen las siguientes propiedades algebraicas:

Al evaluar un límite mediante sustitución directa, pueden surgir indeterminaciones como $\frac{0}{0}$. En estos casos, se deben aplicar procedimientos algebraicos (factorización, racionalización) o simplificaciones trigonométricas.

Un límite existe si y solo si los dos **límites laterales** existen y son exactamente iguales:

$$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$$

• Límite por la izquierda ($\lim_{x \to a^-}$): Evaluación tomando valores menores que $a$.
• Límite por la derecha ($\lim_{x \to a^+}$): Evaluación tomando valores mayores que $a$.

• Límites Infinitos: Ocurren cuando el valor de la función $f(x)$ crece o decrece sin límite ($\pm\infty$) cuando $x$ se aproxima a un número $a$. Por ejemplo: $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$.
• Límites al Infinito: Describen el comportamiento de $f(x)$ cuando la variable independiente $x$ aumenta o disminuye indefinidamente ($x \to +\infty$ o $x \to -\infty$).

Las asíntotas representan rectas a las que la gráfica de la función se acerca infinitamente sin llegar a tocarlas en la región de análisis:

• Asíntota Vertical ($x = a$): Ocurre si $\lim_{x \to a^\pm} f(x) = \pm\infty$. Se localiza anulando el denominador de una función racional simplificada.
• Asíntota Horizontal ($y = L$): Ocurre si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$.
• Asíntota Oblicua ($y = mx + b$): Se presenta en funciones racionales cuando el grado del numerador es exactamente un unidad mayor al grado del denominador.

Una función $f(x)$ es continua en un punto $x = a$ si se verifican obligatoriamente las siguientes **tres condiciones**:

1. $f(a)$ existe (el valor está definido en el dominio).
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ existe (los límites laterales son iguales).
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ (el límite coincide con el valor de la función).

Se dice que una función es **continua en un intervalo** si es continua en todos y cada uno de los puntos que pertenecen a dicho intervalo.

Si alguna de las tres condiciones de continuidad falla en $x = a$, la función presenta una discontinuidad:

Resuelve los siguientes reactivos para validar tu aprendizaje: