En el ejercicio profesional de la Ingeniería Civil, las funciones matemáticas constituyen la herramienta principal para modelar comportamientos físicos reales. Mediante funciones se determinan:

• Deflexión de vigas y momentos flectores: Variación del momento tangencial a lo largo del eje longitudinal de una estructura.
• Hidráulica de canales: Relación entre la velocidad del flujo, el tirante de agua y el gasto hidráulico ($Q = f(A, R, S)$).
• Geotecnia y Mecánica de Suelos: Curvas de consolidación y comportamiento esfuerzo-deformación.

Una Función $f$ es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento $x$ de un conjunto llamado Dominio ($\text{Dom}(f)$), uno y solo un elemento $y$ o $f(x)$ en un conjunto llamado Rango ($\text{Ran}(f)$ o Codominio).

Una función es real de variable real cuando tanto el dominio como el rango son subconjuntos del conjunto de los números reales ($\mathbb{R} \to \mathbb{R}$). Su representación gráfica en el plano cartesiano permite evaluar el criterio de la recta vertical: una curva representa una función si ninguna recta vertical la corta en más de un punto.

Son aquellas expresadas mediante operaciones algebraicas básicas (suma, resta, multiplicación, división, radicación y potenciación):

• Polinomiales: $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$. Dominio: $(-\infty, \infty)$. (Ej. parábolas de deformación de vigas $y = ax^2 + bx + c$).
• Racionales: $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ donde $P(x)$ y $Q(x)$ son polinomios. Su dominio excluye los puntos donde el denominador se anula: $\text{Dom}(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0\}$. Generan asíntotas verticales y horizontales.

Funciones que no pueden expresarse mediante ecuaciones algebraicas finitas:

• Trigonométricas: $f(x) = \sin(x), \cos(x), \tan(x)$. Utilizadas fundamentalmente en el análisis de ondas, oscilaciones armónicas de estructuras y fenómenos sísmicos.
• Exponenciales: $f(x) = a^x$ o $f(x) = e^{kx}$. Describen crecimiento/decrecimiento poblacional o desintegración de materiales.
• Logarítmicas: $f(x) = \log_a(x)$ o $f(x) = \ln(x)$. Función inversa de la exponencial. Condición de dominio: argumento estrictamente positivo ($x > 0$).

Una función es escalonada o definida por partes si su dominio está dividido en intervalos interconectados y adopta valores constantes o distintas expresiones algebraicas en cada subintervalo.

Aplicación en Ingeniería Civil: Representación gráfica de cargas distribuidas por tramos en una viga de puente.

$$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 10 & \text{si } 0 \le x < 5 \\ 25 & \text{si } x \ge 5 \end{cases}$$

Dadas las funciones $f(x)$ y $g(x)$:

• Suma/Resta: $(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x)$
• Multiplicación: $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$
• División: $\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$, donde $g(x) \neq 0$.
• Composición: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$. Significa evaluar la función $f$ usando como entrada la función $g(x)$. Dominio: $\{x \in \text{Dom}(g) \mid g(x) \in \text{Dom}(f)\}$.

Si una función $f(x)$ es biyectiva, admite una función inversa denotada por $f^{-1}(x)$, la cual cumple la propiedad fundamental de simetría espectral: $f(f^{-1}(x)) = x$ y $f^{-1}(f(x)) = x$. Gráficamente es simétrica con respecto a la recta identidad $y = x$.

Una función está definida en forma explícita cuando la variable dependiente está despejada directamente: $y = f(x)$.

En cambio, está en forma implícita cuando la relación entre $x$ e $y$ viene dada por una ecuación no despejada de la forma $F(x, y) = 0$.

Ejemplo estructural: La ecuación geométrica de una trayectoria circular o la sección transversal de un túnel: $x^2 + y^2 – 25 = 0$.

Otras funciones con fuerte presencia en modelos de ingeniería:

• Funciones Par e Impar:
  • Par: $f(-x) = f(x)$ (Simetría respecto al eje $Y$, ej. $y = x^2$).
  • Impar: $f(-x) = -f(x)$ (Simetría respecto al origen, ej. $y = x^3$).
• Funciones Periódicas: Cumplen $f(x + T) = f(x)$, donde $T$ es el periodo (ej. análisis de sismos).
• Función Valor Absoluto: $f(x) = |x| = \sqrt{x^2}$, modela magnitudes sin dirección negativa.

Resuelve los siguientes reactivos para validar el aprendizaje de los conceptos desarrollados: