1 Números Reales

1.1 Los números reales

Definición: El conjunto de los números reales ℝ incluye a los racionales y a los irracionales. Se representan en la recta numérica.

Esquema:

Observación: Los racionales son fracciones p/q con q ≠ 0. Los irracionales no se expresan como fracción (ej. √2, π).

1.2 Axiomas de los números reales

Los reales forman un campo ordenado completo. Resumimos los axiomas más relevantes:

Axiomas de suma y producto: asociatividad, conmutatividad, elemento neutro, inverso.
Orden: existe una relación < compatible con suma y producto por positivos.
Completitud: todo subconjunto acotado superiormente tiene supremo.

Axioma: existencia de inversos

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Para todo a ∈ ℝ existe -a tal que a + (-a) = 0. Para todo a ≠ 0 existe a⁻¹ tal que a · a⁻¹ = 1.

1.3 Intervalos y su representación gráfica

Tipos de intervalos: abierto (a, b), cerrado [a, b], semicerrados [a, b), (a, b], ilimitados (-∞, b), (a, ∞).

1.4 Valor absoluto y sus propiedades

Definición: |x| = x si x ≥ 0; |x| = -x si x < 0.

Propiedades clave:

|x| ≥ 0 y |x| = 0 ⇔ x = 0.
|xy| = |x|·|y|.
|x + y| ≤ |x| + |y| (desigualdad triangular).

Interpretación geométrica: distancia al origen en la recta numérica.

1.5 Propiedades de las desigualdades

Reglas básicas:

Si a < b entonces a + c < b + c para cualquier c.
Si a < b y c > 0 entonces a·c < b·c. Si c < 0 la desigualdad se invierte.
Transitiva: si a < b y b < c entonces a < c.

1.6 Resolución de desigualdades de primer y segundo grado (una incógnita)

Primer grado: ejemplo: 3x – 5 < 7 → paso a paso:

Sumar 5: 3x < 12.
Dividir entre 3 (>0): x < 4.

Segundo grado: ejemplo: x² – 5x + 6 ≥ 0.

Factorizar: (x – 2)(x – 3) ≥ 0.
Encontrar ceros: x = 2, 3. Hacer tabla de signos o usar recta numérica.
Solución: x ∈ (-∞, 2] ∪ [3, ∞).

Ejercicio 1: Resolver 4x + 1 > 9.

Solución: 4x > 8 ⇒ x > 2.

Ejercicio 2: Resolver x² – 4x – 5 < 0.

Solución: Factoriza (x – 5)(x + 1) < 0. Ceros: -1, 5. Solución: -1 < x < 5.

1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto

Resolver |x – 2| < 3: interpretar como distancia al 2 menor que 3 → -3 < x – 2 < 3 → sumar 2 → -1 < x < 5.

Ejercicio 3: Resolver |2x + 1| ≥ 4.

Solución: 2x + 1 ≤ -4 o 2x + 1 ≥ 4. Primero: 2x ≤ -5 ⇒ x ≤ -2.5. Segundo: 2x ≥ 3 ⇒ x ≥ 1.5. Solución: (-∞, -2.5] ∪ [1.5, ∞).

Estrategias y consejos de resolución

Siempre aisla la incógnita y observa el signo al dividir.
Para cuadráticas, factoriza o usa la fórmula general y analiza signos.
Para valor absoluto, traduce a desigualdades compuestas o casos separados.

Ejercicios propuestos (práctica intensiva)

4. Resolver 5 – 2x ≤ 11.

Solución: -2x ≤ 6 ⇒ x ≥ -3.

5. Resolver x² + 2x – 8 > 0.

Solución: Factoriza (x + 4)(x – 2) > 0. Ceros -4, 2 ⇒ solución x < -4 o x > 2.

6. Resolver |x + 3| < 2.

Solución: -2 < x + 3 < 2 ⇒ -5 < x < -1.

7. Resolver (x – 1)(x + 2) ≤ 0.

Solución: Ceros -2, 1 ⇒ solución [-2, 1].

8. Resolver (2x – 3)/(x + 1) > 0.

Solución: Zeros: numerador 1.5, denominador -1 (asíntota). Analizar signos ⇒ x < -1 o x > 1.5.

9. Resolver |x² – 4| ≤ 5.

Solución: -5 ≤ x² – 4 ≤ 5 ⇒ -1 ≤ x² ≤ 9 ⇒ x² ≤ 9 (siempre x² ≥ 0) ⇒ -3 ≤ x ≤ 3.

10. Resolver -2|x – 1| + 3 > 1.

Solución: -2|x – 1| > -2 ⇒ |x – 1| < 1 ⇒ 0 < x < 2.

Examen de conocimientos (sugerido)

Tiempo recomendado: 60 minutos. Puntaje total: 100 puntos.

Pregunta 1 (10 pts): Defina números racionales e irracionales y dé 3 ejemplos de cada uno.
Pregunta 2 (15 pts): Resuelva y represente en la recta: 3x – 7 ≤ 2.
Pregunta 3 (20 pts): Resuelva la desigualdad cuadrática x² – 6x + 8 < 0 y explique el método.
Pregunta 4 (20 pts): Resuelva |3x – 2| ≥ 6 y represente la solución en intervalos.
Pregunta 5 (20 pts): Resuelva la desigualdad racional (x² – 1)/(x – 2) ≤ 0. Incluya análisis de signos y puntos críticos.
Pregunta 6 (15 pts): Explique la desigualdad triangular y dé un ejemplo aplicado en ingeniería (breve).